Potensial dalam Media Homogen

Potensial dalam Media Homogen

            Jika suatu medium homogen isotropis dialiri arus listrik searah I (karena diberi medan listrik E). Besarnya arus yang melalui elemen luas permukaan dA dengan rapat arus J (A/m2) adalah J.dA. Rapat arus J dan medan listrik E dihubungkan oleh hukum Ohm berikut (Telford et al, 1990): 

                              J = σ E                                                                                 (3.1)

Dimana:

J == rapat arus.

E = medan listrik (V/m).

σ = konduktivitas medium (mhos/m).

            Medan listrik merupakan medan konservatif, sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk gradien potensial skalar

                              E = –Ñ V                                                                               (3.2)

Subtitusi persamaan (3.2) kepersamaan (3.1) diperoleh

                              J = – σÑ V                                                                            (3.3)

Apabila tidak ada muatan sumber, maka Ñ . J = 0 sehingga

                              Ñ . (σ Ñ V) = 0                                                                     (3.4)

dengan menggunakan  teorema vektor Ñ.(A) = Ñ.A+Ñ.A, diperoleh                                       Ñ σ .Ñ V + σÑ ²V = 0          (3.5)

Karena medium dianggap homogen isotropis maka s konstan, sehingga suku pertama akan hilang dan kita akan mendapatkan persamaan Laplace dalam bentuk potensial harmonik:

                              Ñ ²V = 0                                                                                (3.6)

Dari asumsi awal bahwa bumi bersifat homogen isotropis, maka persamaan (3.6) dapat dituliskan:

                                                                                   (3.7)

Bila dikalikan dengan r² dan kemudian diintegralkan, diperoleh:

                                                                                                       (3.8)

Bila diintegralkan sekali lagi, akan diperoleh:

                                                                                                  (3.9)

dimana A dan B adalah konstanta sembarang yang nilainya ditentukan dengan menerapkan syarat batas yang harus dipenuhi potensial V(r). Untuk r = » (jarak yang sangat jauh), V(») = 0 dipeoleh B = 0 sehingga persamaan (3.11) menjadi:

                                                                          (3.10)

Jadi nilai potensial listrik berbanding terbalik dengan jarak dari titik sumber arus.